09 - 纳什均衡
"真正的平衡不是最优，而是没有人愿意打破的稳定状态。"
引言
**纳什均衡（Nash Equilibrium）**是博弈论中最核心、最重要的概念。它由约翰·纳什在1950年提出，并因此获得1994年诺贝尔经济学奖。理解纳什均衡，就掌握了博弈分析的关键工具。
什么是纳什均衡？
通俗定义
纳什均衡是一种策略组合，在这个组合下，没有任何参与者愿意单方面改变自己的策略。
换句话说：
- 给定对方的策略，我的策略已经是最优的
- 给定我的策略，对方的策略也已经是最优的
- 双方都没有动力单独改变
日常类比
想象两辆车在窄路相遇：
场景A：双方都靠右行驶
- 如果我单独改为靠左，会撞车（更差）
- 如果对方单独改为靠左，也会撞车（更差）
- 结论：双方都靠右是纳什均衡
场景B：双方都靠左行驶
- 同样，单方面改变会撞车
- 结论：双方都靠左也是纳什均衡
这个例子说明：
- 纳什均衡是稳定的（没有人愿意单方面偏离）
- 纳什均衡不一定唯一（可能有多个）
- 纳什均衡不一定是最优的（只是稳定的）
如何找到纳什均衡？
方法1：划线法（适用于简单博弈）
步骤：
- 对每个参与者，找出在对方每种策略下的最优反应
- 在收益矩阵中标记出来
- 双方最优反应重合的地方就是纳什均衡
案例：广告投放博弈
两家竞争企业A和B，考虑是否投放广告。
| B不投广告 | B投广告 | |
|---|---|---|
| A不投广告 | 3, 3 | 1, 4 |
| A投广告 | 4, 1 | 2, 2 |
分析A的最优反应：
- 如果B不投广告：A投广告更好（4 > 3）✓
- 如果B投广告：A投广告更好（2 > 1）✓
分析B的最优反应：
- 如果A不投广告：B投广告更好（4 > 3）✓
- 如果A投广告：B投广告更好（2 > 1）✓
纳什均衡：（A投广告，B投广告），收益为（2, 2）
注意：虽然（都不投广告）能让双方获得（3, 3）的更高收益，但这不是纳什均衡，因为任何一方都有动力单方面偏离去投广告获得4。
方法2：占优策略法
如果某个策略是占优策略（无论对方怎么选都是最优），那么：
- 该策略一定会被选择
- 包含所有占优策略的组合就是纳什均衡
案例：囚徒困境
| 乙不坦白 | 乙坦白 | |
|---|---|---|
| 甲不坦白 | -1, -1 | -10, 0 |
| 甲坦白 | 0, -10 | -5, -5 |
- "坦白"是双方的占优策略
- 纳什均衡：（都坦白），收益为（-5, -5）
多重均衡问题
有些博弈存在多个纳什均衡。
案例：性别之战（Battle of Sexes）
一对情侣决定晚上的活动：
| 女方选足球 | 女方选芭蕾 | |
|---|---|---|
| 男方选足球 | 2, 1 | 0, 0 |
| 男方选芭蕾 | 0, 0 | 1, 2 |
分析：
-
如果女方选足球，男方最优选择是足球（2 > 0）
-
如果男方选足球，女方最优选择是足球（1 > 0）
-
均衡1：（足球，足球），收益（2, 1）
-
如果女方选芭蕾，男方最优选择是芭蕾（1 > 0）
-
如果男方选芭蕾，女方最优选择是芭蕾（2 > 0）
-
均衡2：（芭蕾，芭蕾），收益（1, 2）
两个纳什均衡的挑战：
- 双方需要协调到同一个均衡
- 如果协调失败（一个选足球，一个选芭蕾），双方都得0
解决方法：
- 事先沟通：明确选择哪个均衡
- 轮流：这次足球，下次芭蕾
- 惯例：形成默契（如"男方决定"）
混合策略纳什均衡
有些博弈没有纯策略纳什均衡（明确选择某个策略），但有混合策略纳什均衡（按一定概率随机选择）。
案例：点球大战
场景：足球点球，射手vs守门员
| 守门员扑左 | 守门员扑右 | |
|---|---|---|
| 射手踢左 | 0.3, 0.7 | 0.9, 0.1 |
| 射手踢右 | 0.9, 0.1 | 0.3, 0.7 |
注：数字代表射手进球概率和守门员扑出概率
分析：
- 没有纯策略纳什均衡（如果守门员总是扑左，射手就应该踢右）
- 混合策略均衡：双方都随机选择（例如各50%概率）
现实含义：
- 优秀的射手和守门员不会有固定模式
- 随机性是最优策略
- 这解释了为什么点球方向难以预测
纳什均衡的特性
1. 稳定性
纳什均衡是自我实施的（Self-enforcing）：
- 不需要外部强制
- 每个人自发地遵守
- 因为偏离会让自己更差
2. 不一定最优
纳什均衡可能不是帕累托最优（Pareto Optimal）。
囚徒困境的例子：
- 纳什均衡：（都坦白），收益（-5, -5）
- 帕累托最优：（都不坦白），收益（-1, -1）
纳什均衡只保证没有单方面偏离的动力，不保证集体最优。
3. 不一定唯一
一个博弈可能有：
- 唯一均衡（如囚徒困境）
- 多个均衡（如性别之战）
- 无纯策略均衡（如点球大战，但有混合策略均衡）
4. 预测力
纳什均衡的核心价值是预测：
- 理性参与者会选择纳什均衡策略
- 观察到偏离均衡的行为，说明存在其他因素（非理性、信息不完全等）
纳什均衡的实战应用
应用1：市场定价
场景：两家超市的定价策略
纳什均衡分析：
- 如果对手定高价，我定低价能抢客户
- 如果对手定低价，我也要定低价避免失去客户
- 结果：都定低价（价格战）
启示：
- 价格战是纳什均衡，但双方利润都低
- 需要破解囚徒困境（如差异化、合并、协议等）
应用2：技术标准竞争
场景：VHS vs Betamax录像带标准之争
多重均衡：
- 均衡1：所有人用VHS
- 均衡2：所有人用Betamax
现实结果：VHS获胜（通过更多影片、更低价格形成雪球效应）
启示：
- 存在多重均衡时，先发优势和网络效应很重要
- 协调到对自己有利的均衡是关键
应用3：职场晋升竞争
场景：两个同事竞争一个晋升名额
策略：努力工作 vs 正常工作
收益分析：
- 如果对方正常工作，我努力工作更可能晋升
- 如果对方努力工作，我正常工作肯定晋升不了
纳什均衡：双方都努力工作
启示：
- 竞争导致所有人都要付出更多努力
- 这对公司有利（获得更多产出）
- 对员工来说是"军备竞赛"（都累，但相对位置不变）
要点总结
| 特征 | 说明 |
|---|---|
| 定义 | 没有人愿意单方面改变策略的稳定状态 |
| 稳定性 | 自我实施，不需要外部强制 |
| 最优性 | 不一定是集体最优，只是个体最优的相互适应 |
| 唯一性 | 可能唯一、多个或不存在（纯策略） |
| 预测力 | 理性参与者会选择纳什均衡 |
实战启示
-
寻找均衡：分析博弈时，先找纳什均衡
- 这是最可能出现的结果
- 偏离均衡的行为通常不可持续
-
评估均衡质量：纳什均衡不一定好
- 可能是囚徒困境（集体次优）
- 需要考虑如何改进
-
应对多重均衡：
- 沟通协调
- 争取先发优势
- 建立惯例和规则
-
改变均衡：
- 改变收益结构（激励机制）
- 改变博弈规则
- 引入新的参与者或策略
实战练习
场景：两家共享单车公司在同一城市竞争
策略：大量投放 vs 适量投放
收益矩阵（单位：百万元利润）：
| B适量投放 | B大量投放 | |
|---|---|---|
| A适量投放 | 5, 5 | 2, 7 |
| A大量投放 | 7, 2 | 3, 3 |
问题：
- 找出纳什均衡
- 这个均衡是最优的吗？
- 如何改进？
答案：
- 纳什均衡：（都大量投放），收益（3, 3）
- 不是最优，（都适量投放）能获得（5, 5）
- 改进：合并、协议限制投放量、政府监管等
下一章预告：性别之战与协调博弈——如何解决多重均衡的协调问题
思考题：在你的工作和生活中，能找到哪些纳什均衡的例子？这些均衡是好的还是坏的？能改进吗？